Именно так и произойдет

А домик можно, но не нужно... Точнее ему в домике очень понравится, даже слишком, так что потом не выгоните оттуда
Домик рекомендуют ставить не раньше, чем через месяц, иначе он к хозяевам будет долго привыкать... Мы Шухеру ставили, он вообще оттуда выходить отказывался

только кушать выходил пока никто не видит... До сих пор дом не ставим (хотя иногда пробуем для проверки)...
Лучше сена побольше напихать, хотя у вас с еном проблемы... Даже не знаю чего бы предложить... Попробую подумать...